Propriétés des coefficients binomiaux
Triangle de Pascal
Pour déterminer les coefficients binomiaux, on peut utiliser le triangle de Pascal :
Complément : Propriétés des coefficients binomiaux
Le triangle est construit en s'appuyant sur les propriétés suivantes :
Les différentes lignes du triangle de Pascal ont un "axe de symétrie" :
ex : \({\Large \binom {5} {0}}= {\Large \binom {5} {5}}\), \({\Large \binom {5} {1}}= {\Large \binom {5} {4}}\), \({\Large \binom {5} {2}}= {\Large \binom {5} {3}}\).
De manière générale, pour tous \(n, k \in \mathbb{N} \), on a :
\({\Large \binom {n} {k}}= {\Large \binom {n} {n-k}}\)
De plus, la construction du triangle est basée sur les propriétés suivantes :
\({\Large \binom {n} {0}}= 1\) et donc \({\Large \binom {n} {n}}=1\)
\({\Large \binom {n+1} {k+1}}= {\Large \binom {n} {k}}+ {\Large \binom {n} {k+1}}\)
Par exemple, \({\Large \binom {6} {4} }= {\Large \binom {5} {3}}+ {\Large \binom {5} {4}}\).
On a aussi : \({\Large \binom {n} {1}}= {\Large \binom {n} {n-1}}=n\). Ainsi \({\Large \binom {5} {1}}=5\).
Fondamental : Expression des coefficients binomiaux avec les factorielles.
Dans le chapitre de dénombrements, on justifie que pour tous \(n\) et \(k\in \mathbb N\) tels que \(0\leq k\leq n\) :
\({\Large \binom{n}{k}}=\dfrac {n !}{k !(n-k) !}\) où on note \(n !\) (se lit « factorielle » \(n\)) le nombre \(n !=1\times 2\times3 \times \dots \times n\).
Cette formule est plus théorique que pratique car le nombre de calculs à réaliser avec cette formule est très importants dès que \(n\) et \(k\) sont grands.
\(~\)
On utilise aussi cette formule pour le calcul des coefficients binomiaux :
\({\Large \binom n k}=\dfrac {n\times (n-1)\times \dots \times (n-k+1)}{1\times 2\times \dots \times k}\) plus efficace.
Par exemple, pour calculer \({\Large \binom {10}7}\), on peut procéder ainsi :
\({\Large {\Large \binom {10}7}}={\Large \binom {10}3} = \dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\) en simplifiant la fraction.