La loi Binomiale
On suppose qu'une variable aléatoire \(X\) suit une loi Binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). On note alors : \(X \hookrightarrow \mathcal B(n ;p)\).
\((X=k)\) désigne l'ensemble des issues comportant \(k\) succès parmi les \(n\) tentatives.
Sachant que :
Un succès a une probabilité \(p\) de se produire et qu'un échec a pour probabilité \(1-p\),
il y a \(k\) succès et donc \(n-k\) échecs,
il y a \({\Large n \choose k}\) chemins menant à \(k\) succès :
On obtient la propriété suivante :
Fondamental : Expression de la loi binomiale
Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit une loi Binomiale \(B(n ;p)\).
Alors pour tout entier \(k\) tel que \(0\leq k\leq n\), on a :
\(\hspace{3cm}P(X=k)={\Large\binom n k} p^k(1-p)^{n-k}\)
Exemple : Lancer d'un dé
On lance 10 fois un dé équilibré à 6 faces.
On gagne à chaque fois que l'on fait 1 ou 6,
on perd sinon.
A chaque jet, la probabilité de gain est de \(p=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\). Ce jeu suit donc une loi binomiale \(B(10,\dfrac{1}{3})\).
La probabilité d'obtenir exactement 3 succès est : \(P(X=3)={\Large\binom {10} 3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\left(\dfrac{2}{3}\right)^7\)
En effectuant ce calcul à la calculatrice, on obtient une probabilité d'environ 0,26.
Rappel : Espérance, variance et écart-type
L'espérance et la variance de la loi binomiale se calcule ainsi :
\(E(X)=np\) \(\hspace{2cm}V(X)=np(1-p)\) \(\hspace{2cm}\sigma =\sqrt {np(1-p)}\)