Exercice : Les billes
Une urne contient 80 billes rouges et 20 billes vertes. On prélève cinq fois de suite avec remise une bille de l'urne. On note \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de billes rouges.
Question
En calculant au moyen de la formule successivement \(P(X=0)\), \(P(X=1)\), ..., \(P(X=5)\), retrouver la valeur de l'espérance de \(X\) que nous avons obtenue au paragraphe précédent.
Indice
On utilise la formule \(P(X=k)={\Large{n \choose k}} p^k(1-p)^{n}\) avec \(p=0,8\) et \(n=5\).
Solution
\(P(X=0)={\Large{5 \choose 0 }}\times 0,8^0 \times 0,2^5=0,00032\)
\(P(X=1)={\Large{5 \choose 1 }}\times 0,8^1 \times 0,2^4=0,0064\)
\(P(X=2)={{\Large5 \choose 2 }}\times 0,8^2 \times 0,2^3=0,0512\)
\(P(X=3)={\Large{5 \choose 3 }}\times 0,8^3 \times 0,2^2=0,2048\)
\(P(X=4)={{\Large5 \choose 4 }}\times 0,8^4 \times 0,2^1=0,4096\)
\(P(X=5)={\Large{5 \choose 5 }}\times 0,8^5 \times 0,2^0=0,32768\)
\(E(X)=0,00032\times 0+0,0064\times 1+0,0512\times 2+0,2048\times 3+0,4094\times 4+0,32768\times 5=4\)
On retrouve bien le résultat attendu \(n\times p=5\times 0,8=4\).