Exercice : Démonstration du calcul de l'espérance de la loi binomiale
Question
\(~\)
Question
Démontrer que pour tout \(n\neq 0\) et tout \(k\) tel que \(1\leq k\leq n\) :
\(\displaystyle k{{n}\choose{k}}=n{{n-1}\choose{k-1}}\).
Indice
Revenir à l'expression du coefficient binomial avec les factorielles.
Solution
\(\displaystyle k{{n}\choose{k}}=\dfrac{k n !}{k!(n-k)!}=\dfrac{n(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}=n{{n-1}\choose{k-1}}\).
Rappel
Pour une variable aléatoire \(X\), l'espérance se calcule ainsi :
\(E(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n k\times P(X=k)\).
Question
Donner l'expression de \(P(X=k)\) lorsque \(0\leq k\leq n\) puis en déduire que l'espérance de \(X\) est égale à :
\(E(X) = n \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{{n-1}\choose{k-1}} p^k (1-p)^{(n-k)}\)
Indice
Pourquoi \(k=0\) n'apparaît-il pas dans la somme ?
Question
En effectuant le changement d'indice \(i=k-1\), montrer que \(E(X)=np\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{{n-1}\choose{i}}p^i(1-p)^{(n-1)-i}\).
Solution
Si \(i=k-1\) ,alors \(k=i+1\), donc \(E(X)=n\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{{n-1}\choose{i}}p^{i+1}(1-p)^{(n-1)-i}=np\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{{n-1}\choose{i}}p^i(1-p)^{(n-1)-i}\).
Formule du binôme
On admet que \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n} {{n}\choose{i}} ~a^i ~b^{n-i}\).
Les curieux pourront s'entraîner à la démonstration par récurrence qu'on trouvera ici.
Question
En développant \(\left(p+(1-p)\right)^{n-1}\), simplifier l'écriture de \(E(X)\) et conclure.
Solution
\(\left(p+(1-p)\right)^{n-1}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} {{n-1}\choose i} p^i (1-p)^{(n-1)-i}\).
Or, \(\left(p+(1-p)\right)=1\), donc \(\left(p+(1-p)\right)^{n-1}=1\) et \(E(X)=np\).