Dérivée de la composée de deux fonctions
Soient \(u\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) à valeurs dans un intervalle \(J\) et \(v\) une fonction définie sur l'intervalle \(J\).
La composée de \(u\) par \(v\), notée \(v∘u\), est la fonction définie sur \(I\) par :
\((v∘u)(x)=v(u(x))\).
Exemple :
Soient \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb R\)R par \(u(x)=x²+1\) et \(v\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(v(x)=\sqrt{x} \).
Alors \(v∘u\) est définie sur \(\mathbb R\) par \(v∘u~(x)=\sqrt{x²+1}\).
Fondamental : Dérivée de la composée
Soient \(u\) une fonction définie et dérivable sur \(I\) à valeurs dans \(J\), et \(v\) une fonction définie et dérivable sur \(J\).
Alors la fonction \(v∘u\) est dérivable sur \(I\) et \((v\circ u)′=u′×(v′\circ u)\), c'est‑à‑dire que, pour tout \(x\in I\), on a :
\(~\)
\((v\circ u)'~(x)=u'(x)\times (v'\circ u)~(x)=u'(x)\times v'(u(x))\)
\(~\)
ou en version simplifiée
\(~\)
\((v \circ u)'=u'\times (v'\circ u)\).
\(~\)
Par exemple, on retrouve bien la formule de 1ère donnant la dérivée de la composée d'une fonction avec une fonction affine, ainsi que la formule de la dérivée de la racine, d'une puissance ou de l'inverse d'une fonction.
Complément :
Exemple :
On retrouve par exemple la dérivée de l'exponentielle d'une fonction.
Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\).
Alors \((e^u)'=u\hspace{0.05cm}' e^u\).
Exemple :
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=e^{x^2-x+1}\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(f\hspace{0.05cm}'(x)=(2x-1)e^{x^2-x+1}\).
Exemple :
