Dérivée de racine de \(u\)
Dérivée de racine de \(u\)
Définition :
Si \(x\longmapsto U(x)\) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\), alors \(x\longmapsto \sqrt{U(x)}\) est dérivable sur \(I\) et on a :
La dérivée d'une fonction de la forme \(\sqrt U\) est égale à \(\frac{U'}{2\sqrt{U}}\).
Exemple :
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\sqrt{5x²-7}\). Alors :
\(f\) est dérivable sur tout intervalle où \(5x^2-7>0\) donc sur \(\left]-\infty ;-\sqrt {\dfrac{7}{5}}\right[\cup\left]\sqrt {\dfrac{7}{5}} ;+\infty\right[\).
La dérivée de \(f(x) = \sqrt{5x^2-7}\) est :
\(f'(x) = \dfrac{10x}{2\sqrt{5x^2-7}}\) car on pose \(u(x)=5x^2-7\) donc \(u'(x)=10x\).