Suites et continuité
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) une suite d'éléments de \(I\) convergeant vers un élément \(a\in I\).
Alors \(\lim\limits_{n\to +\infty} f(u_n)=f(a)\).
Autrement dit, \(\lim\limits_{n\to +\infty} f(u_n)=f(\lim\limits_{n\to +\infty} u_n)\).
Exemple :
Soient \(f\) la fonction définie et continue sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x^2\) et \((u_n\)) la suite définie, pour tout \(n\in\mathbb N\), par \(u_n=2+\dfrac 1 {n+1}\), alors \(\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=2\) et donc \(\lim\limits_{n\to +\infty} f(u_n)=\lim\limits_{n\to +\infty} \left(2+\dfrac 1 {n+1}\right)^2=f(2)=4\).
Théorème de point fixe
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) dans lui-même et \((u_n)\) la suite définie par un réel \(u_0\) et pour tout \(n\in\mathbb N\), par \(u_{n+1}=f(u_n)\).
Si la suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\in I\), alors \(\ell\) est solution de l'équation \(f(x)=x\).