Exercice
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x^3+3x^2+0,5x+1\).
Question
Étudier la convexité de la fonction \(f\).
Indice
Étudier le signe de la dérivée seconde.
Solution
La dérivée \(f\hspace{0.05cm}'\) est donnée par \(f\hspace{0.05cm}'(x)=3x²+6x+0,5\) et la dérivée seconde par \(f\hspace{0.05cm}''(x)=6x+6\).
Cette dérivée seconde est positive si \(x>-1\), négative si \(x<-1\) et nulle lorsque \(x=-1\).
La fonction \(f\) est donc concave sur l'intervalle \(]-\infty ;-1[\) et convexe sur l'intervalle \(]-1 ;+\infty [\).
Question
Déterminer les coordonnées des points d'inflexion éventuels de la courbe représentative de \(f\).
Solution
Il y a un unique point d'inflexion, dont les coordonnées sont \((-1 ;f(-1))=(-1 ;2,5)\).