Limites de la fonction \(\ln\)
Fondamental : Limite en \(+\infty\)
\(\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty\)
Complément : Démonstration
Soit \(A\) un réel strictement positif quelconque.
Si \(x>e^A\), sachant que la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ;+\infty[\), on a \(\ln x>\ln e^A\).
Donc si \(x>e^A, ~ \ln x>A\) ce qui est la définition d'une limite infinie en l'infini.
Fondamental : Limite en \(0^+\)
\(\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty\).
Par conséquence, la courbe de la fonction \(\ln\) admet une asymptote verticale en \(0^+\).
Complément : Démonstration
Soit \(A\) Un réel strictement négatif quelconque.
Si \(0<x<e^A\), alors \(\ln x<\ln e^A=A\).
On peut donc ainsi rendre la fonction \(\ln\) aussi négative que l'on veut pour peu que l'on s'approche suffisamment de 0.
Cela démontre la limite demandée.
\(~\)
Une autre démonstration consiste à effectuer un changement de variable en posant \(X=\dfrac 1x\) :
\(\lim\limits_{x \to 0^+}\ln x=\lim\limits_{X\to+\infty}\ln \dfrac 1X=\lim\limits_{X\to+\infty}-\ln X=-\infty\) d'après la limite de \(\ln\) en \(+\infty\).
Tableau de variation de la fonction ln
On en déduit donc le tableau de variations ci-dessous.
Courbe de la fonction \(\ln\) :
