Variations de la fonction \(\ln\)
En regardant l'allure de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien, on peut conjecturer que celle-ci est strictement croissante sur l'intervalle \(]0 ;+\infty[\). Maintenant que nous en connaissons la dérivée, on peut s'en convaincre aisément.
En effet, sur \(]0 ;+\infty[\), \(\frac{1}{x}>0\), donc la dérivée étant strictement positive, la fonction est strictement croissante.
Fondamental :
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle \(]0 ;+\infty[\).
Complément : Démonstration
Pour tout réel \(x>0\), on a \((\ln)'(x)=\dfrac{1}{x}>0\).
Conséquence sur le signe de \(\ln\)
Sachant que :
la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(]0 ;+\infty[\),
\(\ln 1=0\)
On en déduit le signe de la fonction logarithme népérien :
Si \(x\in ]0 ;1[ ,~\ln x<0\)
Si \(x\in ]1 ;+\infty[,~\ln x>0\)
Si \(x=1,~\ln x=0\)
