Exercice : Calcul d'une dérivée avec \(\ln\)
Question
Dériver la fonction suivante sur l'intervalle \(]0 ;+\infty[\) :
\(f :x\longmapsto f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)
Indice
La fonction se présente comme un quotient \(\dfrac{u}{v}\) de deux fonctions.
Solution
\(u(x)=\ln x\) donc \(u'(x)=\dfrac{1}{x}\)
\(v(x)=x\) donc \(v\hspace{0.05cm}'(x)=1\)
On applique la formule \(f\hspace{0.05cm}'(x)=\dfrac{u'v-uv\hspace{0.05cm}'}{v^2}\)
\(f\hspace{0.05cm}'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x - \ln x \times 1}{x^2}\) donc en simplifiant :
\(f\hspace{0.05cm}'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)