Exercice : Calculs de limites

Soit la fonction \(f :x\longmapsto x-\ln x\).

Question

Calculer \(\lim\limits_{x\to 0} ~ f(x)\).

Solution

Pas d'indétermination ici, on utilise simplement les théorèmes d'opérations pour une limite du type \(0-(-\infty)\).

Ainsi \(\lim\limits_{x\to 0} ~ f(x)=+\infty\).

Question

Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} ~ f(x)\)

Indice

On pourra mettre le terme dominant en facteur.

Indice

En l'infini, \(x\) domine sur \(\ln x\).

Solution

Ici la limite est une indéterminée du type \(\infty-\infty\)...

\(f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)\)

Or on sait que \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\).

Donc \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)=1\).

et par conséquent \(\lim\limits_{x\to +\infty} ~ f(x)=+\infty\) par les théorèmes d'opérations.

Et pour se remémorer la technique du taux d'accroissement ...

Question

Calculer \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}\).

Indice

On pourra penser à la technique du taux d'accroissement déjà rencontrée pour certaines limites comme \(\dfrac{e^x-1}{x}\) ou \(\dfrac{\sin x}{x}\) en 0...

Solution

Écrivons \(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\) comme un taux d'accroissement de la fonction \(\ln \) en 1 :

\(\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\dfrac{\ln (1+x)-\ln 1}{(1+x)-1}\)

Or on sait que la fonction \(x\longmapsto \ln x\) est dérivable en \(x=1\) et que son nombre dérivé vaut 1.

Donc le taux d'accroissement tend vers 1 quand \(x\) tend vers 0.

Par conséquent, \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\).

Question

Calculer \(\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac 1 n\right)^n\).

Indice

Pour tout \(a\) positif, \(a=e^{\ln a}\).

Solution

Pour tout \(n>0\), \(\left(1+\dfrac 1 n \right)^n=e^{\ln \left(\left(1+\dfrac 1 n\right)^n\right)}=e^{n \ln\left(1+\dfrac 1 n\right)}\).

Posons \(x=\dfrac 1 n\). Alors \(\left(1+\dfrac 1 n\right)^n=e^{\dfrac {\ln(1+x)}{x}}\).

Or, d'après la question précédente, \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\), donc, par composition des limites, \(\lim\limits_{n \to +\infty}n \ln\left(1+\dfrac 1 n\right)=1\).

Ainsi, par continuité de la fonction exponentielle, on obtient que \(\lim\limits_{n \to +\infty}e^{n \ln\left(1+\dfrac 1 n\right)}=e^1=e\).

Ainsi, \(\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac 1 n\right)^n=e\).