Exercice

Intersection d'un plan et d'une droite

Dans un repère \(\left(O ;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)\) quelconque de l'espace, soit un plan \(\mathcal{P}\) dirigé par les deux vecteurs \(\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right )\) et \(\overrightarrow{v} \left (\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right )\) et passant par le point \(O\) et soit \((d)\) la droite de vecteur directeur \(\overrightarrow{w}\left (\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right )\) et passant par \(A\left(1 ;1 ;0\right)\).

Question

Démontrer que la droite \((d)\) est sécante au plan.

Solution

Il suffit de prouver que le vecteur \(\overrightarrow w\) ne peut pas être écrit comme une combinaison linéaire de \(\overrightarrow u\) et de \(\overrightarrow v\) :

Supposons que \(\overrightarrow w=a\overrightarrow u+b\overrightarrow v\). En considérant les coordonnées, on obtient que \(\left \{\begin{array}{l}a+b=1\\a-b=1 \\2a+3b=1\end{array}\right.\) On obtient avec les deux premières que \(a=1\) et \(b=0\). Mais ceci n'est pas compatible avec la 3ème équation.

Question

Déterminer un système d'équations paramétriques du plan \(\mathcal P\) et de la droite \((d)\).

Solution

Pour \(\mathcal{P}\) :\(\left \{\begin{array}{l}x = t+t' \\y = t-t' \\z=2t+3t'\end{array}\right.\)

Pour \((d)\), \(\left \{\begin{array}{l }x =1+t'' \\y = 1+t'' \\z=t''\end{array}\right.\).

Question

Déterminer le point d'intersection du plan et de la droite.

Solution

En résolvant le système \(\left \{\begin{array}{l }t+t'=1+t'' \\t-t' = 1+t'' \\2t+3t'=t''\end{array}\right.\), on trouve \(\left \{\begin{array}{l}t = -1 \\t' =0 \\t''=-2\end{array}\right.\).

Ainsi, le point de coordonnées \(\left(-1 ;-1 ;2\right)\) est le point d'intersection de la droite te du plan.