Exercice : Droites orthogonales

On considère dans un repère orthonormé :

  • Une droite \((d)\) de représentation paramétrique :

    \((d) : \left\{\begin{array}{c}x=2+t\\y=2+t\\z=3\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\).

  • Une droite \((d')\) de représentation paramétrique :

    \((d') : \left\{\begin{array}{c}x=-1-4t\\y=5+4t\\z=-1-2t\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\).

Question

Montrer que \((d)\) et \((d')\) ne sont pas coplanaires.

Solution

  • Leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

  • Résolvons le système :

    \(\left\{\begin{array}{c}2+t=-1-4t'\\2+t=5+4t'\\3=-1-2t'\end{array}\right.\)

La dernière équation donne \(t'=-2\),

dans la seconde équation, on a donc \(2+t=-3\) soit \(t=-5\),

la première équation donne donc \(-3=7\) ce qui prouve que les droites ne sont pas sécantes.

Puisqu'elles ne sont pas parallèles non plus, elles sont non coplanaires.

Question

Donner une représentation paramétrique de la droite \((d")\) parallèle à \((d')\) passant par \(A(2 ;2 ;3)\).

Solution

Une représentation paramétrique de la parallèle à \((d')\) passant par A(2 ;2 ;3) est \((d") : \left\{\begin{array}{c}x=2-4t\\y=2+4t\\z=3-2t\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\).

Question

Quelle est la position relative de \((d)\) et \((d")\) ?

Indice

On pourra montrer qu'elles sont perpendiculaires.

On pourra trouver deux points \(B\) et \(C\) respectivement sur \((d)\) et \((d")\).

Solution

Les deux droites \((d)\) et \((d")\) sont sécantes puisqu'elles ont des vecteurs directeurs non colinéaires et ont le point \(A\) en commun.

Prenons \(t=1\) pour la droite \((d)\) : \(B(3 ;3 ;3)\) et \(t=1\) pour la droite \((d")\) :

\(C(-2 ; 6 ; 1)\)

Calculons :

\(AB=\sqrt 2\), \(AC=\sqrt {36}\), \(BC=\sqrt {38}\).

Donc \(AB^2+AC^2=BC^2\).

Donc \((AB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires.

Donc \((d)\) et \((d")\) sont perpendiculaires.

On verra dans le prochain cours de géométrie dans l'espace que j'on pourra démontrer grâce au produit scalaire que les vecteurs directeurs des deux droites \((d)\) et \((d')\) sont orthogonaux.

Question

Que peut-on en déduire pour \((d)\) et \((d')\) ?

Solution

\((d)\) et \((d')\) sont orthogonales car \((d')\) est parallèle à une droite perpendiculaire à \((d)\) et qu'elles ne sont pas coplanaires.