Exercice : Calculer avec des coordonnées dans l'espace
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \((O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})\).
On considère les points \(A(-1 ;3 ;1)\), \(B(3;1;-1)\), \(C(1 ;-3 ;-1)\) , \(D(-5 ;0 ;2)\).
Question
Justifier que ABC est un triangle rectangle.
Solution
\(AB=\sqrt{(3-(-1))^2+(1-3)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{24}\)
\(AC=\sqrt{(1-(-1))^2+(-3-3)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{44}\)
\(BC=\sqrt{(1-3)^2+(-3-1)^2+(-1-(-1))^2}=\sqrt{20}\)
On constate ainsi que \(AC^2=AB^2+BC^2\) donc d'après la réciproque de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).
Question
Montrer que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
En déduire que \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires. Quelle est la nature de \(ABCD\) ?
Solution
\(\overrightarrow{AB} \left (\begin{array}{c}3-(-1)\\1-3\\-1-1\end{array}\right )\) donc \(\overrightarrow{AB} \left (\begin{array}{c}4\\-2\\-2\end{array}\right )\)
\(\overrightarrow{CD} \left (\begin{array}{c}-5-1\\0-(-3)\\2-(-1)\end{array}\right )\) donc \(\overrightarrow{CD} \left (\begin{array}{c}-6\\3\\3\end{array}\right )\)
On voit ainsi que \(\overrightarrow{CD}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) ce qui démontre leur colinéarité.
Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles donc coplanaires. Les points \(A\),\(B\), \(C\) et \(D\) sont donc coplanaires.
Le quadrilatère \(ABCD\) est un trapèze, rectangle en \(B\).