Exercice : Représentation paramétrique d'une droite
L'espace est rapporté à un repère \((O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})\).
On considère les points \(A(2 ;-1 ;5)\), \(B(1 ;-3 ;2)\), \(C(2 ;3 ;9)\) et le vecteur \(\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right )\).
Question
Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
Indice
Un vecteur directeur de la droite \((AB)\) est \(\overrightarrow{AB}\).
Solution
\(\overrightarrow{AB} \left (\begin{array}{c}1-2\\-3-(-1)\\2-5\end{array}\right )\) donc \(\overrightarrow{AB} \left (\begin{array}{c}-1\\-2\\-3\end{array}\right )\).
Une représentation paramétrique de \((AB)\) est donc :
\((AB) : \left\{\begin{array}{l}x=2-t\\y=-1-2t\\z=5-3t\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\).
On aurait obtenu un autre système d'équations en prenant le point \(B\) ou un autre vecteur directeur.
Question
Déterminer le point d'intersection \(I\), s'il existe, de la droite \((AB)\) avec le plan \(\mathcal{P}\) passant par \(O\) et de vecteurs directeurs \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) (on dit que ce plan a pour équation \(z=0\)).
Indice
Trouver la valeur de \(t\) correspondante.
Solution
La droite \((AB)\) et le plan \(\mathcal P\) sont sécants, car la droite \((AB)\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\), qui ne peut pas s'exprimer en fonction de \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) (elle possède une composante non nulle en \(\overrightarrow{k}\)).
Le point d'intersection est sur le plan et a donc pour côte \(z=0\). Donc, \(t\) vaut \(\dfrac 5 3\) en résolvant \(5-3t=0\). Ainsi, on peut trouver les autres coordonnées \(x_I=2-\dfrac 5 3=\dfrac 1 3\), \(y_I=-1-2\times\dfrac 5 3=-1-\dfrac {10} 3=-\dfrac {13} 3\), et \(z_I=0\).
Question
Donner une représentation paramétrique de la droite \((C,\overrightarrow{u})\).
Solution
Une représentation paramétrique de la droite \((C,\overrightarrow{u})\) est :
\((d) : \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\y=3\\z=9+t\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\) avec \(t\in\mathbb R\).
Question
Les droites \((AB)\) et \((C,\overrightarrow{u})\) sont-elles sécantes ? Si oui, déterminer les coordonnées du point d'intersection.
Indice
Il faut déterminer s'il existe deux paramètres \(t\) et \(t'\) permettant à un même triplet de coordonnées \((x ; y ;z)\) de vérifier les deux représentations paramétriques.
Solution
Les coordonnées \((x ;y ;z)\) du point d'intersection - s'il existe - doivent vérifier simultanément les deux représentations paramétriques des droites \((AB)\) et \((C,\overrightarrow{u})\). Néanmoins il n'y a aucune raison que la valeur du paramètre \(t\) soit identique dans les deux représentations. Écrivons donc le système d'équations
\((S) : \left\{\begin{array}{l}x=2-t=2+t'\\y=-1-2t=3\\z=5-3t=9+t'\end{array}\right.\) où \(t,~t'\in\mathbb R\).
\((S) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2-t=2+t'\\-2t=4\\5-3t=9+t'\end{array}\right.\)
La valeur \(t=-2\) de la seconde équation nous permet de remplacer dans les autres équations l'inconnue \(t\).
\((S) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2+2=2+t'\\t=-2\\5+6=9+t'\end{array}\right.\)
Ce qui nous permet d'avoir la valeur de t'.
\((S) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2=t'\\t=-2\\2=t'\end{array}\right.\)
Le système admet donc une solution unique avec \(t=-2\) et \(t'=2\).
En remplaçant la valeur du paramètre dans l'une ou l'autre des équations paramétriques, on trouve les coordonnées du point d'intersection, à savoir : \(I(4 ;3 ;11)\).
Question
Les droites \((d)\) et \((d')\) de systèmes d'équations paramétriques respectifs \(\left\{\begin{array}{l}x(t)=1-t\\y(t)=2+t\\z(t)=3+2t\end{array}\right.\) et \(\left\{\begin{array}{l}x(t)=-1+2t\\y(t)=1-t\\z(t)=-1-2t\end{array}\right.\) sont-elles coplanaires ?
Indice
Sont-elles parallèles ?
Sont-elles sécantes ?
Solution
En prenant un vecteur directeur de \((d)\) et \((d')\), on obtient deux vecteurs non colinéaires :
\(\left (\begin{array}{c}-1\\1\\2\end{array}\right )\) et \(\left (\begin{array}{c}2\\-1\\-2\end{array}\right )\).
Ainsi les droites ne sont pas parallèles.
D'autre part, tentons de résoudre le système :
\(\left (\begin{array}{l}1-t=-1+2t'\\2+t=1-t'\\3+2t=-1-2t'\end{array}\right )\)
A l'aide des deux premières équations, on trouve \(t'=3\) et \(t=-4\), mais ces valeurs ne conviennent pas dans la 3ème équation.
Les deux droites ne sont donc pas sécantes.
N'étant ni parallèles, ni sécantes, elles ne sont pas coplanaires.
Question
Les droites \((d)\) et \((d')\) de systèmes d'équations paramétriques respectifs \(\left\{\begin{array}{l}x(t)=1-t\\y(t)=2+t\\z(t)=3+2t\end{array}\right.\) et \(\left\{\begin{array}{l}x(t)=-1+2t\\y(t)=1-2t\\z(t)=-1-4t\end{array}\right.\) sont-elles coplanaires ?
Solution
En prenant un vecteur directeur de \((d)\) et \((d')\), on obtient deux vecteurs colinéaires :
\(\left (\begin{array}{c}-1\\1\\2\end{array}\right )\) et \(\left (\begin{array}{c}2\\-2\\-4\end{array}\right )\).
Les droites sont donc parallèles.
On peut alors vérifier si elles sont confondues ou strictement parallèles :
Pour cela, on considère un point de \((d)\) (en prenant \(t=0\)) par exemple, de coordonnées (1 ;2 ;3) et on vérifie s'il appartient à \((d')\) et cherchant s'il existe une valeur du paramètre \(t\) des équations de \((d')\) qui donne ces coordonnées :
Avec la 1ère on trouve \(-1+2t=1\) donc \(t=1\).
Pour la 2ème on trouve \(1-2t=2\) donc \(t=-\dfrac12\). Donc les droites ne sont pas confondues, donc elles sont strictement parallèles.