Repère de l'espace
Fondamental :
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs non coplanaires de l'espace.
Alors pour tout vecteur \(\overrightarrow{r}\), il existe un unique triplet \((x;y;z)\) de réels tels que \(\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}+z\overrightarrow{w}\).
On dit alors que le vecteur \(\overrightarrow{r}\) a pour coordonnées \(\overrightarrow{r}\begin{pmatrix}x \\y\\z \end{pmatrix}\) dans la base (\(\overrightarrow{u}\); \(\overrightarrow{v}\) ;\(\overrightarrow{w}\)).
\(\).
Si le point \(M\) est tel que \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{r}\), alors \((x;y;z)\) sont les coordonnées de \(M\) dans le repère (A ;\(\overrightarrow{u}\); \(\overrightarrow{v}\) ;\(\overrightarrow{w}\)).
Complément : Démonstration
Existence : Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(M\) des points tels que :
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\) ; \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}\) ; \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{t}\).
\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont non colinéaires car sinon \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) seraient coplanaires. Ainsi \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan dont (A ;\(\overrightarrow{u}\); \(\overrightarrow{v}\)) est un repère.
La parallèle à \(\overrightarrow{AD}\) passant par M est dirigée par \(\overrightarrow{w}\). Puisque \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont 3 vecteurs non coplanaires, cette parallèle rencontre le plan \((ABC)\) en un point \(H\).
\(\overrightarrow{HM}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont colinéaires donc \(\overrightarrow{HM}=z\overrightarrow{w}\).
De plus, \(\overrightarrow{AH}\) étant un vecteur du plan \(ABC\), il s'exprime sous la forme \(\overrightarrow{AH}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}\).
Ainsi, \(\overrightarrow{t}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}+z\overrightarrow{w}\) ce qui prouve l'existence des coordonnées \(x\); \(y\) et \(z\).
\(~~\)
Unicité : On suppose que le vecteur \(\overrightarrow{t}\) possède deux écritures :
\(\overrightarrow{t}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}+z\overrightarrow{w}=x'\overrightarrow{u}+y'\overrightarrow{v}+z'\overrightarrow{w}\)
Alors \((x-x')\overrightarrow{u}+(y-y')\overrightarrow{v}+(z-z')\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}\).
Supposons que l'une de ces 3 différences ne soit pas nulle, par exemple \(z-z'\neq 0\), alors on peut exprimer le vecteur \(\overrightarrow{w}\) :
\(\overrightarrow{w}=\dfrac{x-x'}{z-z'}\overrightarrow{u}+\dfrac{y-y'}{z-z'}\overrightarrow{v}\) ce qui démontre que \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont coplanaires. Or on sait par hypothèse que c'est faux. Donc \(z=z'\) et en procédant de même pour les autres coordonnées, on montre que \(x=x'\) et \(y=y'\).
Ce qui démontre l'unicité de la décomposition.