Espérance de la loi binomiale
Exemple : Espérance pour \(n=1\) et \(n=2\)
Calculer l'espérance d'une loi correspondant à une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\).
Puis pour une loi binomiale de paramètres 2 et \(p\).
Fondamental : Propriété
Avec la simulation python et les deux calculs précédents, on conjecture que l'espérance de la loi binomiale \(B(n ;p)\) est \(E(X)=np\) pour tout \(n\neq 0\). On le démontrera dans le paragraphe suivant.
Exemple :
Une urne contient 80 billes rouges et 20 billes vertes. On prélève cinq fois de suite avec remise une bille de l'urne. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de billes rouges.
La variable \(X\) suit la loi binomiale \(B(5;0,8)\). Son espérance est \(5\times 0,8=4\). Ceci signifie que si on effectue une grande série de prélèvements de 5 billes (avec remise), on aura une moyenne de 4 billes.
Rappel : Variance et écart-type
La variance d'une variable aléatoire finie est donnée par la formule :
\(V(X) =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(X=x_i)(x_i-E(X))^2\).
L'écart-type est donné par :
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Variance et écrat-type permettent de mesurer la dispersion de la variable aléatoire autour de son espérance.
Autres rappels :
\(E(aX+b)=aE(X)+b\)
\(V(aX+b) = a^2 V(X)\)
\(\sigma(aX+b) = |a|\sigma(X)\)
Fondamental : Propriété admise : la variance de la loi binomiale
La variance de la loi binomiale \(B(n ;p)\) est \(n\times p\times(1-p)\).
L'écart-type de la loi binomiale \(B(n ;p)\) est \(\sqrt{n\times p\times(1-p)}\).