Exercice : La planche de Galton

Description du dispositif

On considère une planche sur laquelle sont plantées 3 rangées de clous disposés en quinconce et espacés régulièrement. Sur la première rangée, il y a un clou, sur la seconde, deux clous et la troisième, trois clous.

Sous la troisième rangée, des paniers sont disposés pour accueillir les billes.

On laisse tomber une bille à la verticale du premier clou. Sur chaque clou, on considère qu'une bille à une probabilité \(p\) d'aller sur la droite.

Question

Décrire cette situation à l'aide d'un schéma de Bernoulli.

Solution

Arbre pour la planche de Galton

Question

Quel est, pour chaque panier, le nombre de chemin(s) permettant à une bille d'y tomber ?

Indice

Lier le n° du panier au nombre de fois où la bille tourne à droite.

Solution

Pour les paniers extrêmes, il n'y a qu'un chemin.

Pour le premier panier, il faut que la bille tourne une seule fois à droite. Comme il y a trois rangées, il y a trois possibilités qu'elle tourne à droite une seule fois donc 3 chemins mènent à ce panier. Par symétrie, on en déduit les autres paniers.

N° du panier

0

1

2

3

Nb de chemins

1

3

3

1

Question

Quelle est pour chaque panier la probabilité qu'une bille lancée du sommet de la planche atteigne ce panier.

Indice

Déterminer le nombre total d'issues dans l'expérience aléatoire consistant à répéter trois fois "tourner à gauche ou a droite"

Solution

La planche de Galton est une modélisation concrète d'un schéma de Bernoulli. Il y a 2 issues possibles pour chacune des 3 expériences donc \(2^3=8\) issues au total dans l'univers.

La probabilité pour chacun des paniers est obtenu le nombre de chemins possibles menant à chaque panier par la probabilité obtenu en multipliant les nombres le long des branches.

N° du panier

0

1

2

3

Probabilité

\(1 \times (1-p)^3\)

\(3 \times p^1(1-p)^2\)

\(3 \times p^2 (1-p)^1\)

\(1 \times p^3\)