Exercice : Limite d'une suite géométrique de raison supérieure à 1.
Question
Démontrer que \(\lim\limits_{n \to +\infty}q^n =+\infty\) pour \(q>1\).
Indice
Utiliser l'inégalité de Bernoulli.
Solution
Soit \(a=q-1\). Alors \(q=1+a\) et donc \(q^n=(1+a)^n\ge1+na\).
Si \(A\) est un réel positif, on peut trouver un \(n_0\in\mathbb{N}\) tel que \(1+na>A\). Il suffit de prendre par exemple \(E(\dfrac{A-1}{a})+1\).
Si \(n\ge n_0\), on a donc \(q^n>A\).
Une suite géométrique de 1er terme positif et de raison plus grande que 1 diverge donc vers \(+\infty\).