Exercice
Démontrer que la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par \(u_n=1+\frac{1}{n^2}\) est convergente et de limite 1.
Question
On considère un intervalle \(I_\varepsilon=]1-\varepsilon ;1+\varepsilon[\) ouvert centré autour de 1.
Démontrer que si \(n\geqslant \mathbb E \left(\frac{1}{\sqrt \varepsilon}\right)+1\), tous les termes de la suite sont dans \(I_\varepsilon\)
Indice
\(\mathbb E \left(\frac{1}{\sqrt \varepsilon}\right)\) désigne la partie entière de \(\frac{1}{\sqrt \varepsilon}\)
Solution
si \(n\geqslant \mathbb E \left(\frac{1}{\sqrt \varepsilon}\right)+1\), alors \(n>\frac{1}{\sqrt \varepsilon}\) et donc \(n^2>\frac{1}{\varepsilon}\)
Par passage à l'inverse, puisque la fonction \(x\longmapsto \frac{1}{x}\) est strictement décroissante, on en déduit que \(\frac{1}{n^2}<\varepsilon\)
Mais on sait aussi que \(\frac{1}{n^2}>0\) et \(-\varepsilon <0\) donc \(-\varepsilon<\frac{1}{n^2}<\varepsilon\)
en ajoutant 1 à cette inégalité, on en déduit que si \(n\geqslant \mathbb E \left(\frac{1}{\sqrt \varepsilon}\right)+1\), alors \(1-\varepsilon<1+\frac{1}{n^2}<1+\varepsilon\), ce qui revient à dire que \(u_n\in I_\varepsilon\)
Question
En déduire que la suite \((u_n)_{n\ge1}\) converge et donner sa limite.
Solution
On vient de démontrer qu'un intervalle ouvert centré en 1 de type \(]1-\varepsilon ;1+\varepsilon[\) contient tous les termes de la suite \((u_n)_{n\ge1}\) à partir d'un rang \(n\geqslant \mathbb E \left(\frac{1}{\sqrt \varepsilon}\right)+1\).
C'est exactement la définition d'une suite convergente de limite 1.