Limite d'un quotient
\(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\) | \(\ell\in\mathbb R\) | \(\ell\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(\pm \infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n\) | \(\ell'\in\mathbb R^*\) | \(\pm\infty\) | \(\ell'>0\) | \(\ell'<0\) | \(\ell'>0\) | \(\ell'<0\) | \(0\) | \(\pm\infty\) |
\(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac {u_n}{ v_n}\) | \(\dfrac{\ell}{\ell'}\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|
|
\(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\) | \(\ell>0\) | \(+\infty\) | \(\ell>0\) | \(+\infty\) | \(\ell<0\) | \(-\infty\) | \(\ell<0\) | \(-\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n\) | \(0^+\) | \(0^+\) | \(0^-\) | \(0^-\) | \(0^+\) | \(0^+\) | \(0^-\) | \(0^-\) |
\(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac {u_n}{ v_n}\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
On écrit \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0^+\) lorsque \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0\) et que \(v_n\) reste positif à partir d'un certain rang.
On dit alors que \((v_n)\) tend vers \(0\) par valeurs positives.
De même, \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0^-\) lorsque \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0\) et que \(v_n\) reste négatif à partir d'un certain rang.
On dit alors que \((v_n)\) tend vers \(0\) par valeurs négatives.
Exemple :
Pour déterminer la limite d'un quotient de deux polynômes, si on obtient une forme indéterminée, on mettra en facteur les monômes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :
Par exemple :
Pour déterminer la limite de \(u_n=\dfrac{-2n²+n-5}{n^3-n^2+8}\), on écrit cette fraction sous la forme :
\(u_n=\dfrac{-2n²\left(1+\dfrac{n}{-2n^2}-\dfrac{5}{-2n^2}\right)}{n^3\left(1-\dfrac{n^2}{n^3}+\dfrac{8}{n^3}\right)}\).
Or, \(\dfrac{-2n^2}{n^3}=\dfrac{-2}{n}\) tend vers \(0\) et \(\dfrac{1+\dfrac{n}{-2n^2}-\dfrac{5}{-2n^2}}{1-\dfrac{n^2}{n^3}+\dfrac{8}{n^3}}\) a un numérateur et un dénominateur qui tendent vers 1.
On en déduit que \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0\) par produit de \(0\) et \(1\).