Limite de l'inverse
Fondamental :
\(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n\) | \(\ell \neq 0\) | \(\pm\infty\) | 0, avec \(v_n>0\) pour tout \(n\) à partir d'un certain rang. On dit alors que la limite de \(v_n\) vaut \(0^+\). | 0, avec \(v_n<0\) pour tout \(n\) à partir d'un certain rang. On dit alors que la limite de \(v_n\) vaut \(0^-\). |
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\(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{v_n}\) | \(\dfrac{1}{\ell}\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
Attention : Attention aux inverses de limites nulles
En fonction du signe de \(v_n\), la limite peut être plus ou moins l'infini. Pour être déterminée, il faut que \(v_n\) garde un signe constant à partir d'un certain rang.
Exemple :
Si \(v_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\), alors la limite de \(\dfrac{1}{v_n}\) ne peut être déterminée car \(v_n\) change constamment de signe.
En effet, \(\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{n}{(-1)^n}\) qui oscille entre des nombres très grands mais négatifs et des nombres très grands positifs, donc n'a pas de limites.
Complément :
Connaissant le comportement du produit et de l'inverse, on en déduit le comportement de la limite d'un quotient, ce dernier pouvant être considéré comme le produit d'une limite par l'inverse de l'autre.