Les suites - Partie I : Généralités, raisonnement par récurrence, limites

On sait (ou on montre facilement que) \(\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty\).

Donc :

\(\lim\limits_{n \to +\infty} -3n^2=-\infty\) \(\quad(\ell<0 \times +\infty\))

Donc :

\(\lim\limits_{n \to +\infty} 2-3n^2=-\infty\) \(\quad(\ell+ -\infty\))

On sait que \(\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} 2n^2=+\infty\).

On sait que \(\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty\). On a donc une forme indéterminée \(\infty-\infty\).

Pour lever l'indétermination, on met le terme prépondérant (ici \(n^2\)) en facteur :

\(2n^2-n=n^2\left(2-\frac{1}{n}\right)\). Le premier facteur tend vers l'infini et le second vers 2. L'indétermination est levée car on a une forme en \(+\infty \times \ell>0\).

Donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} 2n^2-n=+\infty\).

Ici le numérateur et le dénominateur tendent vers l'infini. On a donc une indétermination du type \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ou \(\infty\times 0\).

Une fois encore, on met le terme prépondérant en facteur :

\(\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{n}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}=\dfrac{1}{1+\dfrac1n}\)

L'indétermination est levée après simplification car on a une limite du type \(\dfrac{\ell}{\ell'}\).

On a donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1}=1\).

\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{( \sqrt{n+1}-\sqrt{n})( \sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{ \left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{n+1-n}{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\).

La limite de cette nouvelle expression est beaucoup facile à déterminer :

\(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}}="\dfrac{1}{+\infty}"=0\).