Exercice : Étude d'une suite arithmético-géométrique
Dans un parc naturel, la population de chamois diminue de 20% chaque année mais on introduit aussi 120 nouvelles bêtes. On note \(u_n\) le nombre de chamois à l'année \(n\). On suppose qu'il y a 1 000 chamois à l'année 0.
Question
Donner l'expression de la suite par récurrence.
Solution
Au départ, on a 1 000 chamois. à l'année \(n+1\), le nombre de chamois est celui de l'année \(n\) que l'on diminue de 20% et auquel on ajoute 120. On obtient ainsi la définition par récurrence suivante :
\(u_0=1000\)
\(u_{n+1}=0,8\times u_n+120\)
Question
Trouver le réel \(\alpha\) solution de l'équation \(\alpha=0,8\alpha+120\)
Solution
Nommons l'équation \((E) :\alpha=0,8\alpha+120\)
\((E)\Longleftrightarrow 0,2\alpha=120\)
\((E)\Longleftrightarrow \alpha=\frac{120}{0,2}\)
\((E)\Longleftrightarrow \alpha=600\)
Question
Montrer que la suite \((v_n)_{n≥0}\) définie pour tout \(n\) par \(v_n = u_n −\alpha\) est une suite géométrique de raison et de premier terme à préciser.
Indice
On pourra exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
On remarquera ensuite que \(480=600\times 0,8\).
Indice
Mettre 0,8 en facteur dans l'expression \(v_{n+1}\).
Solution
\(v_{n+1}=u_{n+1}-600\). En remplaçant \(u_{n+1}\) par sa valeur dans la formule de récurrence, on a :
\(v_{n+1}=0,8\times u_n+120-600\)
\(v_{n+1}=0,8\times u_n-480\). On remarque alors que \(480=600\times 0,8\) donc
\(v_{n+1}=0,8(u_n-600)\) ce qui permet de conclure que :
\(v_{n+1}=0,8\times v_n\)
De plus \(v_0=u_0-600=1000-600=400\).
Donc la suite\( (v_n)_{n\geqslant 0}\) est une suite géométrique :
de premier terme 400
de raison 0,8.
Question
En déduire une expression explicite de \(v_n\) puis de \(u_n\) en fonction de \(n\).
Indice
On se rappellera que \(v_n=v_0\times q^n\) est la formule explicite d'une suite géométrique.
Solution
On sait d'après le cours que \(v_n=v_0\times q^n=400\times 0,8^n\).
De plus \(u_n=v_n+600\).
On en déduit que \(u_n=400\times 0,8^n+600\).
Question
A l'aide de la calculatrice, conjecturer ce que deviendra le nombre de chamois dans les années qui viennent.
Solution
On sait que la suite \((v_n)\) est décroissante car la raison est plus petite que 1. La suite \((u_n)\) est donc décroissante également car elle s'obtient à partir de \((v_n)\) par un simple décalage constant de 600.
Le nombre de chamois va donc diminuer dans les années à venir.
Par contre, \(400\times0,8^n\) est un nombre positif. On ne peut donc pas avoir un nombre de chamois inférieur à 600.
A l'aide de la calculatrice, on a \(u_{10}\approx 707\) et \(u_{30}\approx 601\).
On peut donc conjecturer à partir de ces éléments, que le nombre de chamois va progressivement diminuer pour s'approcher de 600, sans jamais l'atteindre ni passer en dessous de ce seuil.
Cette conjecture fera l'objet d'une étude plus précise dans la suite de ce chapitre lorsque nous étudierons la notion de limite d'une suite.