Linéarité de l'intégrale
La propriété suivante, dite de linéarité, se déduit aisément des formules vue sur les primitives sur la somme et la multiplication par un nombre réel \(k\).
Fondamental : Linéarité de l'intégrale.
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \([a ;b]\) et \(k\) un réel quelconque.
\(\displaystyle \int_a^b f(x)+g(x)~ \mathrm dx=\displaystyle \int_a^b f(x)~ \mathrm dx+\displaystyle \int_a^b g(x)~ \mathrm dx\)
\(\displaystyle \int_a^b k f(x)~ \mathrm dx=k \displaystyle \int_a^b f(x)~ \mathrm dx\)
Exemple :
Soit \(f\) une fonction telle que \(\displaystyle \int_1^3 f(x)~\mathrm dx=2\), calculer \(\displaystyle \int_1^3 \dfrac{3}{2}f(x)-x~\mathrm dx\).
On sait que \(\displaystyle \int_1^3 \dfrac{3}{2}f(x)-x~\mathrm dx=\dfrac{3}{2}\displaystyle \int_1^3 f(x)~ \mathrm dx-\displaystyle \int_1^3 x~ \mathrm dx\). Or :
\(\displaystyle \int_1^3 f(x)~\mathrm dx=2\)
\(\displaystyle \int_1^3 x~ \mathrm dx=\left[\dfrac{x^2}{2} \right ]_1^3=\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}=4\).
On en déduit la valeur de l'intégrale cherchée : \(\displaystyle \int_1^3 \dfrac{3}{2}f(x)-x~\mathrm dx=\dfrac{3}{2}\times2-4=-1\)