Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
Nous avons défini l'intégrale d'une fonction continue positive comme l'aire comprise sous la courbe. Nous avons ensuite vu un outil - les primitives - qui permettent de calculer ces intégrales. Ces outils ne nécessitent pas d'avoir absolument des fonctions positives mais fonctionnent dans tous les cas de figure. On peut donc donner une définition généralisée de l'intégrale d'une fonction continue.
Définition : Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
Soient \(I\) un intervalle, \(a\), \(b\) deux réels de \(I\)et \(f\) une fonction continue de signe quelconque sur l'intervalle \(I\). La fonction \(f\) étant continue sur cet intervalle, on note \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\).
On définit l'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) comme suit :
\(\displaystyle \int_a^b f(x)~\mathrm dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)\).
Cette définition n’impose pas que \(a<b\), ni que la fonction soit positive.
Exemple :
Calculons \(\displaystyle \int_{-2}^4 -5x^3~\mathrm dx\).
La fonction \(f\) définie par \(f(x)=-5x^3\) est une fonction continue sur \([-2 ;4]\). Une primitive est \(F(x)=\dfrac{-5}{4}x^4\).
Par conséquent \(\displaystyle \int_{-2}^4 -5x^3~\mathrm dx=\left[\dfrac{-5}{4}x^4\right]_{-2}^4=F(4)-F(-2)\). Or :
\(F(-2)=\dfrac{-5}{4}(-2)^4=-20\)
\(F(4)=\dfrac{-5}{4}(4)^4=-320\)
Donc \(\displaystyle \int_{-2}^4 -5x^3~\mathrm dx=-320+20=-300\).
Ce résultat négatif ne peut bien sûr pas correspondre à une aire.
Calculons \(\displaystyle \int_{-2}^0 -5x^3~\mathrm dx\) et \(\displaystyle \int_{0}^4 -5x^3~\mathrm dx\) :
\(\displaystyle \int_{-2}^0 -5x^3~\mathrm dx=F(0)-F(-2)=0-(-20)=20\) et \(\displaystyle \int_{0}^4 -5x^3~\mathrm dx=F(4)-F(0)=-320-0=-320\).
On remarque que \(-300=20+(-320)\).
On reverra la relation de Chasles prochainement.
Bien sur cette intégrale ne peut plus s'interpréter comme une aire, une aire n'étant jamais négative. Cependant, on peut tout de même donner une interprétation en se basant sur la notion d'aire vue initialement. L'intégrale est en fait la différence entre l'aire de la partie au dessus de l'axe des abscisse (\(\mathcal A_1\)) avec l'aire de la partie située sous l'axe des abscisse (\(\mathcal A_2\)).
En résumé \(\displaystyle \int_{-2}^4 -5x^3~\mathrm dx=\mathcal A_1 - \mathcal A_2=-300\). L'intégrale négative indique qu'il y a plus de surface de courbe sous l'axe des abscisses (bleu) qu'au dessus (rose).