Encore une limite à connaître
Fondamental :
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=1\)
Remarque :
Il s'agit la encore d'une indétermination du type \(\dfrac{0}{0}\). Pour la lever, on va utiliser ... les dérivées !
Méthode : On utilise la définition du nombre dérivé en 0
On se rappelle la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point.
Sachant que \(e^0=1\), \(\dfrac{e^x-e^0}{x-0}\) est le taux d'accroissement de la fonction exponentielle en 0.
Puisque l'exponentielle est dérivable en \(0\), ce taux d’accroissement tend vers une limite qui est le nombre dérivé \(\exp'(0)\) qui vaut \(1\).
CQFD