Limites de fonctions : partie 2

Nous avons \(\dfrac{e^x}{x^n}=\dfrac{(e^{x/n})^n}{x^n}=\left(\dfrac{e^{x/n}}{n\frac{x}{n}}\right)^n= \left(\dfrac {1} {n}\dfrac{e^{x/n}}{x/n}\right)^n\).

En posant \(X=x/n\), on obtient \(\dfrac{e^x}{x^n} = \left(\dfrac{1}{n}\dfrac{e^X}{X}\right)^n\).

Or, si \(x\) tend vers \(+\infty\), il en va de même de \(X\) et donc de \(\dfrac{e^X}{X}\), d'après la propriété précédente ("L'exponentielle l'emporte sur \(x\)").

On a donc un produit fini de \(n\) facteurs tendant vers \(+\infty\).

Ainsi, \(\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\).

De même, en posant \(X=-x\), on peut écrire que \(x^n e^x=\dfrac{(-X)^n}{e^X}=\dfrac{(-1)^n X^n}{e^X}\).

Or, d'après ce qu'on vient de voir, \(\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X^n}=+\infty\), donc \(\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{X^n}{e^X}=0\).

De plus, \(-\dfrac{ X^n}{e^X}\le \dfrac{(-1)^n X^n}{e^X}\le\dfrac{X^n}{e^X}\).

Or, les limites des membres de gauche et de droite sont égales à 0.

Par le théorème de comparaison, on obtient donc que \(\lim\limits_{X \to +\infty}\dfrac{(-1)^n X^n}{e^X}=0\) et donc que \(\lim\limits_{x \to -\infty}x^n e^x=0\).