Exercice : Croissance comparée de \(\exp\) et \(x\)

Nous allons voir qu'en l'infini, l'exponentielle l'emporte sur \(x\). Ce résultat sera à connaître.

Question

On considère la fonction \(f :x\longmapsto e^x-\frac{x^2}{2}\) définie sur \([0 ;+\infty[\).

Calculer \(f'\) puis en déduire les variations de \(f\).

Solution

\(f'(x)=e^x-x\)

Or on a vu précédemment que \(e^x-x\) était positif sur \([0 ;+\infty[\). On peut donc affirmer que \(f\) est croissante sur \([0 ;+\infty[\).

Question

En déduire que pour tout \(x\) positif, \(\frac{e^x}{x}>\frac{x}{2}\).

Indice

On pourra montrer que \(e^x>\frac{x^2}{2}\).

Solution

Puisque \(f\) est croissante sur \([0 ;+\infty[\), si \(x>0, ~f(x)>f(0)\).

Or \(f(0)=1\) donc pour \(x\in [0 ;+\infty[\) on a \(e^x-\frac{x^2}{2}>0\).

Donc pour \(x\in [0 ;+\infty[\) on a \(e^x>\frac{x^2}{2}\)

et en divisant par \(x\) positif, on ne change pas le sens de l'inégalité ce qui donne \(\frac{e^x}{x}>\frac{x}{2}\).

Question

Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty\).

Solution

On sait que

  • \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{2}=+\infty\)

  • \(\frac{e^x}{x}>\frac{x}{2}\) si x est positif

D'après le théorème de comparaison, on peut affirmer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty\).

Question

Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0\).

Indice

Penser à l'inverse.

Solution

On peut écrire que \(\dfrac{x}{e^x}=\dfrac{1}{~~~\dfrac{e^x}{x}~~~}\).

Or, la limite de \(\dfrac{e^x}{x}\) vaut \(+\infty\) par ce qui précède et on peut donc obtenir la limite cherchée :

\(\lim\limits_{x \to+\infty}\dfrac{x}{e^x} = 0\).

Question

Montrer que \(\lim\limits_{x \to -\infty} xe^x=0\)

Indice

On pourra poser \(X=-x\).

Indice

Si \(x\) tend vers \(-\infty\), \(X\) tend vers ...

Indice

Exprimer \(xe^x\) en fonction de \(X\).

Solution

Posons \(X=-x\). Alors \(xe^x = (-X)e^{-X}\).

Alors \(\lim\limits_{x \to -\infty} xe^x=\lim\limits_{X \to +\infty}-\dfrac{X}{e^X}=0\)

puisque \(\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty\) et que \(\dfrac{1}{\infty}=0\).

Question

Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty}xe^x\).

Question

Calculer \(\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{e^x}{x}\).

Pour retenir ces limites, on se dit que l'exponentielle l'emporte sur \(x\) :

  • En \(+\infty\), elle l'emporte sur \(x\) et le quotient tend vers l'infini.

  • En \(-\infty\), elle s'impose par rapport à \(x\).

Ces limites permettent de lever des cas d'indétermination  : \(\frac{\infty}{\infty}\) pour la première et \(0\times \infty\) pour la seconde.

A ce titre, il est important de les mémoriser.