Calcul d'intégrale avec une primitive
Pour calculer l'intégrale d'une fonction continue, on applique la propriété suivante :
Méthode :
Soit \(f\) une fonction continue positive sur un intervalle \([a ;b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a ;b]\) (n'importe laquelle convient).
Alors \(\displaystyle \int_a^b f(x) ~\mathrm dx=\left[ F(x)\right]^b_a= F(b)-F(a)\).
Exemple :
Calculons \(\displaystyle \int_0^1 x² ~\mathrm dx\) :
Pour cela, on détermine une primitive \(F\) de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x²\). Prenons par exemple \(f(x)=\dfrac{x^3}{3}\).
Alors on obtient que \(\displaystyle \int_0^1x^2\ \mathrm dx=\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}\).
On note ce résultat \(\left [\dfrac{x^3}{3}\right ]_0^1\).
Donc on écrit \(\displaystyle \int_0^1 x²~ \mathrm dx=\left [\dfrac{x^3}{3}\right ]_0^1=\dfrac{1}{3}\).
De même, pour l'intégrale de l'activité d'introduction :
\(\displaystyle \int_0^{1,5} 4-x²\ \mathrm dx=\left [4x-\dfrac{x^3}{3}\right ]_0^1=4\times1,5 -\dfrac{1,5}{3}=4,875\).