Calcul intégral et primitives

On sait que \(u\times v\) est dérivable, comme produit de fonctions dérivables, et que \((u\times v)'=u'v+uv'\).

Donc, pour tout réel \(x\in [a ;b]\), on a \((uv)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\).

Les deux fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables donc continues sur \([a ;b]\).

Par opérations sur les fonctions continues , \((uv)'\), \(uv'\), \(u'v\) et \(u'v+uv'\) sont continues sur \([a ;b]\).

Elles admettent donc des primitives.

On obtient \(\int_a^b (uv)'(x)~\mathrm dx=[uv(x)]_a^b\) et \(\int_a^b (uv)'(x)~\mathrm dx=\int_a^b \left(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\right)~\mathrm dx=\int_a^b u'(x)v(x)~\mathrm dx+\int_a^bu(x)v'(x)~\mathrm dx\) par linéarité de l'intégrale.

Donc, \(\int_a^b u'(x)v(x)~\mathrm dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)~\mathrm dx\).

De manière simplifiée, on écrit :

\(\int_a^b u'v~ \mathrm dx=[uv]_a^b-\int_a^b uv' \mathrm dx\).