Calcul intégral et primitives

On obtient que \(u(t)=t\) et \(\ln'(t)=\dfrac 1 t\).

En intégrant par parties, on obtient \(\int_1^x 1\times \ln(t)~ dt=\left[t\times \ln(t)~dt\right]_1^x-\int_1^x t\times \dfrac 1 t ~dt=x\ln(x)-1ln(1)-\int_1^x 1~dt=x \ln x-(x-1)=x\ln x-x+1\).

On trouve le même résultat qu'en calculant \(\left[t\ln t-t\right]_1^x\) (on se rappelle qu'une primitive de la fonction \(\ln\) est la fonction \(x\longmapsto x\ln(x)-x\)).

On pose \(u'(x)=e^x\) et \(v(x)=x\). Alors :

\(\int_{-1}^1 x e^x ~\mathrm dx=\left[ e^x \times x\right]_{-1}^1-\int_{-1}^1 1\times e^x~\mathrm dx=e^1\times 1-e^{-1}\times(-1)-[e^x]_{-1}^1=e-e^{-1}+e+e^{-1}=2e^{-1}\).

On pose sur \([0 ;e-1]\), \(u'(x)=\dfrac 1 {(x+1)^2}\) et \(v(x)=x\).

Alors, on peut écrire que \(u(x)=-\dfrac 1 {x+1}\) et \(v'(x)=1\).

Ainsi :

\(I=[-\dfrac x {x+1}]_0^{e-1}-\int_0^{e-1}-\dfrac 1 {x+1}~\mathrm dx\)

\(~=(-\dfrac{e-1}{e}-0)-[-\ln(x+1)]_0^{e-1}\)

\(~=\dfrac {1-e}{e}-(-\ln(e-1+1)+\ln(0+1))\)

\(~=\dfrac{1-e}{e}-(-1+0)=\dfrac{1-e}{e}+1\)

\(~=\dfrac 1 e\).