Théorème de composition des limites
Définition :
Soient \(u\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) à valeurs dans un intervalle \(J\) et \(v\) une fonction définie sur l'intervalle \(J\).
La composée de \(u\) par \(v\), noté \(v\circ u\), est la fonction définie sur \(I\) par :
\(\hspace{4cm}(v \circ u)(x)=v(u(x))\).
Définition :
Composer deux fonctions signifie les enchaîner l'une après l'autre.
Par exemple, la fonction \(f : x\longmapsto \sqrt{\frac{3}{x}+7}\) peut se calculer en calculant \(u : x\longmapsto \frac{3}{x}+7\) suivie de \(v : x\longmapsto \sqrt{x}\).
Ainsi \(f(x)=v(u(x))\). On note parfois \(f=v \circ u\). La fonction la plus à l'intérieur est celle qui se calcule en premier.
Exemple :
Soit \(u\) la fonction définie par \(x\longmapsto x^2+1\) sur \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R⁺}\) et \(v\) par \(x\longmapsto \sqrt x\) définie sur \(\mathbb R⁺\).
La fonction \(v\circ u\) est définie sur \(\mathbb R\) par \((v\circ u)(x)=v(u(x))=\sqrt{x²+1}\).
Fondamental : Théorème de composition (admis)
Soient \(\color{blue}\alpha\), \(\color{red}\beta\) et \(\color{green}\gamma\) des réels ou \(\pm \infty\).
On considère deux fonctions \(u\) et \(v\) telles que :
\(\lim\limits_{x \to \color{blue}\alpha } u(x)=\color{red}\beta\)
\(\lim\limits_{x \to \color{red}\beta } v(x)=\color{green}\gamma\)
Alors \(\lim\limits_{x \to \color{blue}\alpha } v(u(x))=\color{green}\gamma.\)
Remarque :
Ce théorème est un peu abstrait dans son énoncé mais son utilisation est très intuitive comme on va le voir sur l'exemple ci-dessous :
Exemple :
Calculer \(\lim\limits_{x \to \color{blue}+\infty } \sqrt{\frac{3}{x}+7}.\)
On commence par la fonction la plus "à l'intérieur" :
On sait que \(\lim\limits_{x \to +\infty } \frac{1}{x}=0\) donc \(\lim\limits_{x \to +\infty } \frac{3}{x}=0\) et en ajoutant 7 : \(\lim\limits_{x \to \color{blue}+\infty } \frac{3}{x}+7=\color{red}7\)
On regarde le comportement de la fonction extérieure en \(\color{red}7\) : ici \(x\longmapsto \sqrt{x}\) quand \(x\) se rapproche de \(\color{red}7\) ne pose pas de problème et tend vers \(\color{green}\sqrt 7\).
Donc \(\lim\limits_{x \to \color{blue}+\infty } \sqrt{\frac{3}{x}+7}=\color{green}\sqrt 7\).
Méthode : Changement de variable
Le théorème précédent peut se réécrire de la façon suivante :
Soit \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) des réels ou \(\pm \infty\)
On considère deux fonctions u et v telles que :
\(\lim\limits_{x \to \color{blue}\alpha } u(x)=\color{red}\beta\)
\(\lim\limits_{X \to \color{red}\beta } v(X)=\color{green}\gamma\)
Alors \(\lim\limits_{x \to \alpha } v(u(x))=\gamma.\)
On dit alors qu'on a utilisé un changement de variable en posant \(X=u(x)\), et on a alors \(v(u(x))=v(X)\).
Exemple :
Dans l'exemple précédent, on pose \(X = \frac{3}{x}+7\).
Or, \(\lim\limits_{x \to \color{blue}+\infty } \frac{3}{x}+7=\color{red}7\), donc on peut dire que \(\lim\limits_{x \to \color{blue}+\infty } X=\color{red}7\).
De plus, \(\lim\limits_{X \to \color{red}7 }\sqrt{X}=\color{green}\sqrt 7\). Ainsi, on obtient que \(\lim\limits_{x \to \color{blue}+\infty } \sqrt{\frac{3}{x}+7}=\color{green}\sqrt 7\).
Attention :
Il ne s'agit pas d'une autre méthode, mais d'une autre présentation du calcul de la limite.
Complément : Pour aller plus loin
On pourra étudier la fonction précédente en cherchant son ensemble de définition, les limites aux bornes de cet ensemble et ses variations, et en déterminant la présence éventuelle d'asymptotes.