Limites de fonctions : partie 2

On commence par la fonction la plus à l'intérieur :

On sait que \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} ~\frac{1}{x}=+\infty\) donc \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} ~\frac{3}{x}=+\infty\) et en ajoutant 7 : \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} ~\frac{3}{x}+7=+\infty.\)

On regarde le comportement de la fonction extérieure en \(+\infty\) : ici \(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt x=+\infty.\)

On en déduit par composition que \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} ~\sqrt{\frac{3}{x}+7}=+\infty.\)

On multiplie et on divise \(\sqrt{x^2+1}~-\sqrt{x^2-1}\) par sa quantité conjuguée \(\sqrt{x^2+1}~+\sqrt{x^2-1}\) :

\(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}=\dfrac{( \sqrt{x^2+1}~-\sqrt{x^2-1})\times( \sqrt{x^2+1}~+\sqrt{x^2-1})}{ \sqrt{x^2+1}~+\sqrt{x^2-1}}\)

Ensuite, on peut utiliser la 3ème identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) :

Donc, \(\sqrt{x^2+1}~-\sqrt{x^2-1}=\dfrac{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2-\left(\sqrt{x^2-1}\right)^2}{ \sqrt{x^2+1}~+\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{(x^2+1)-(x^2-1)}{ \sqrt{x^2+1}~+\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{2}{ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}\).

On doit donc chercher la limite du dénominateur, et pour commencer celle de \(\sqrt{x^2+1}\) :

On sait que \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^2+1=+\infty\). De plus, \(\lim\limits_{X\to +\infty}\sqrt X=+\infty\). Ainsi, par composition des limites, on obtient que :

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+1}=+\infty\).

De même,

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x^2-1}=+\infty\).

On peut donc affirmer que le dénominateur précédent tend vers \(+\infty\):

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}=+\infty\) .

Par quotient, on obtient que la limite demandée vaut \(0\) (Si j'osais, j'écrirais : \(\ll\dfrac{2}{+\infty}=0\gg \), mais ce ne serait pas correct mathématiquement !).