Continuité - Compléments de dérivation - Convexité

Il faut donc que \(x\) soit différent de 1.

Mais \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\) si \(x\neq1\).

L'ensemble de définition est \(\mathcal D=]-\infty ;1[\cup]1 ;+\infty[\).

D'autre part, \(\lim\limits_{x\to1^-}x+1=2\), et \(\lim\limits_{x\to1^+}x+1=2\).

La fonction est un quotient de fonctions usuelles continues sur leur ensemble de définition et est donc continue sur cet ensemble.

La fonction n'est pas définie en 1, mais peut être "prolongée par continuité" en posant \(f(1)= 2\).

La fonction g est la composée d'une fonction rationnelle \(f\) et de la fonction racine carrée.

Pour l'ensemble de définition, il faut que le dénominateur ne soit pas nul.

Le premier problème qui se pose est au niveau du quotient. Le dénominateur \(2x+3\) ne peut pas s'annuler. Nous avons donc une valeur interdite lorsque \(2x+3=0\) donc \(x=\frac{-3}{2}\).

Le second problème qui se pose est au niveau de la racine. L'intérieur de la racine doit être positif ou nul. Nous devons donc déterminer le signe de \(f(x)=\frac{-x+2}{2x+3}\) au moyen par exemple d'un tableau de signes.

Dans ce tableau nous faisons apparaître en première ligne les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur. On applique la règle des signes pour déterminer le signe du quotient. la valeur interdite est symbolisée par la double barre.

Tenant compte de ces contraintes, on s'aperçoit que la fonction est définie sur l'intervalle \(]\frac{-3}{2} ;2]\).

La fonction étant composée de fonctions usuelles, (racine et quotient de polynômes), elle est donc continue sur tout intervalle sur lequel elle est définie. Elle est donc continue sur l'intervalle \(]\frac{-3}{2} ;2]\).