Caractérisation d'une droite et d'un plan
Fondamental : Caractérisation d'une droite
Une droite de l'espace peut être définie par :
un point \(A\) de cette droite et
un vecteur non nul \(\overrightarrow{u}\).
La droite est alors l'ensemble des points \(M\) de l'espace vérifiant \(\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u} ~, ~~t\in \mathbb R\).
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite.
On dit que \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur directeur de la droite.
Fondamental : Caractérisation d'un plan
Un plan peut être défini par :
un point \(A\) de ce plan et
deux vecteurs non colinéaires \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).
Le plan est alors l'ensemble des points \(M\) de l'espace vérifiant \(\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{u} +y\overrightarrow{v}~, ~~x,y\in \mathbb R\).
Les vecteurs sont des vecteurs directeurs du plan.
On dit alors que les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) dirigent le plan.
Tout vecteur du plan \(\overrightarrow{w}\) peut s'écrire comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{u}\) et de \(\overrightarrow{v}\hspace{-0.1cm}\) :
\(\overrightarrow{w}=x\overrightarrow{u} +y\overrightarrow{v}~, ~~x,y\in \mathbb R\).
(A,\(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\)) définissent un repère de ce plan. \(x\) et \(y\) sont les coordonnées de \(M\) dans ce repère.
Fondamental : Conséquences
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Deux plans ayant même couple de vecteurs directeurs sont parallèles.
Une droite \((d)\) et un plan \(\mathcal P\) sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de \((d)\) est un vecteur du plan \(\mathcal P\), autrement dit si le vecteur directeur de la droite peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs directeurs du plan.