Limites des suites arithmétiques
Fondamental :
Soit \((u_n)\) la suite arithmétique de raison \(r\) définie par \(u_n=u_0+n\times r\) .
Si \(r>0\), la suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\).
Si \(r<0\), la suite \((u_n)\) tend vers \(-\infty\).
Si \(r=0\), la suite \((u_n)\) tend vers \(u_0\) car elle est constante !
Complément : Démonstration
On sait que \(\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty\).
D'après les propriétés de la limite d'un produit,
Si \(r>0, \lim\limits_{n \to +\infty} nr=+\infty\).
Si \(r<0, \lim\limits_{n \to +\infty} nr=-\infty\).
D'après les propriétés de la limite d'une somme,
Si \(r>0, \lim\limits_{n \to +\infty} u_0+nr=+\infty\).
Si \(r<0, \lim\limits_{n \to +\infty} u_0+nr=-\infty\).
Exemple :
Peut-on construire un escalier dont les marches font 17cm de hauteur pour monter au sommet d'une tour de 800m ?
Si \(u_n\) désigne la hauteur atteinte par un escalier de \(n\) marches, c'est une suite arithmétique de raison \(0,17\).
Elle tend donc vers l'infini et dépassera à partir d'un certain rang la hauteur de 800m.
Exemple :
En pliant une feuille de papier d'épaisseur d'épaisseur 0,1 mm, peut-on obtenir une hauteur égale à la distance entre la terre et la lune ?
Si \(u_n\) désigne la hauteur atteinte après \(n\) pliages, on obtient une suite géométrique de 1er terme \(u_0=0,1\) et de raison 2.
Elle diverge vers \(+\infty\) donc dépassera n'importe quelle hauteur (du moins en théorie...) !