Exercice : Inégalité de Bernoulli
Question
Démontrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\), et pour tout \(a\in\mathbb{R^+}\), on a :
\((1+a)^n \geqslant 1+na\)
Solution
On procède par récurrence sur n :
Initialisation :
On doit vérifier que \((1+a)^0\geqslant1+0a \).
Mais dans les deux cas, on obtient 1. Et 1\(\geqslant \)1.
La propriété est donc initialisée.
Héridité :
Supposons que la propriété est vraie au rang \(k\) pour un certain \(k\), donc que \((1+a)^k\geqslant 1+ak\) et montrons qu'elle l'est encore au rang \(k+1\), donc que \((1+a)^{k+1}\geqslant 1+(k+1)a\):
Si \((1+a)^k\geqslant 1+ak\), en multipliant chaque membre de l'inégalité par \(1+a\), on obtient \((1+a)^{k+1}\geqslant(1+ka)((1+a)\).
En développant le second membre, on obtient \(1+a+ka+ka^2\), qui est supérieur à \(1+a+ka=1+(k+1)a\).
On en déduit donc que \((1a)^{k+1}\geqslant 1+(k+1)a\). CQFD
Conclusion :
La propriété est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout \(n\in \mathbb{N}\).
Cette propriété est importante car elle permet de démontrer qu'une suite géométrique de raison supérieure à 1 et de 1er terme positif converge vers \(+\infty\).