Recherche de l'exposant : Équation du type \(x^n\) d'inconnue \(n\)
Il arrive que pour d'autres équations, l'inconnue soit en exposant. En voici une situation concrète :
Une production est fonction de l'investissement \(x\) en milliers d'euros. La quantité produite \(f(x)\) en tonnes est modélisée par la fonction \(f(x)=10\times 1,03^x-14\).
La production n'est effectuée que lorsque l'investissement \(x\) est tel que \(f(x)>0\). Quelle quantité d'argent doit-on investir pour que la production démarre ?
Méthode : Résolution d'une inéquation avec l'inconnue en exposant
On est amené à résoudre l'inéquation \(10\times 1,03^x-14>0\). En isolant l'inconnue dans le membre de gauche, l'inéquation se ramène à
\(1,03^x>1,4\).
Utilisons le fait que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(\mathbb R^+\) et prenons le logarithme des deux membres. L'inégalité ne change pas de sens.
\(\ln 1,03^x>\ln 1,4\) ce qui revient à \(x\ln1,03>\ln1,4\)
Avant de diviser par \(\ln 1,03\), on examine le signe de \(\ln 1,03\) : il est positif car \(1,03>1\) ! L'inégalité ne va donc pas changer de sens lors de la division.
Donc, \(x>\dfrac{\ln 1,4}{\ln 1,03}\approx 11,383\)
Par conséquent, l'entreprise devra investir au minimum 11383 euros afin que la production puisse démarrer.
Complément :
Prenons un autre exemple :
Un véhicule perd 20% de sa valeur chaque année. Au bout de combien d'années a-t-il sa valeur initiale a-t-elle été divisée par 10 ?
Il suffit de résoudre l'inéquation \(0,8^n\leq 0,1\) :
On applique la méthode précédente en appliquant la fonction \(\ln\).
On obtient \(n\ln 0,8\leq 0,1\).
En divisant par \(\ln 0,8\), il faut changer le sens de l'inégalité ! ! En effet, \(\ln 0,8 < 0\) !
On obtient \(n\geq \dfrac{\ln 0,1}{\ln 0,8}\).
Attention à nouveau, on ne peut pas simplifier les \(\ln\) !
On trouve que \(n\) doit être supérieur ou égal à 11.\(\)