Équation ou inéquation du type \(x^n=k\) ou \(x^n<k\) d'inconnue \(x\)
Méthode :
Soit \(k\in ]0 ;+\infty~[\) et \(n\in\mathbb N\). On cherche à résoudre l'équation \(x^n=k\).
Cette équation a une unique solution dans \(]0 ;+\infty~[\).
Pour la déterminer, on applique de chaque côté du signe égal la fonction \(\ln\) :
on obtient \(\ln (x^n)=\ln(k)\)
On peut alors utiliser la propriété \(\ln(a^n)=n\ln(a)\) et on obtient :
\(n\ln(x)=\ln(k)\).
Puis, en divisant par \(n\), on obtient :
\(\ln(x)=\dfrac{\ln(k)}{n}\)
On applique alors la fonction exponentielle et on obtient :
\(x=e^{\frac{\ln(k)}{n}}\)
Attention, on ne peut pas simplifier l'exponentielle et le logarithme à cause du quotient.
Dans le cas d'une inéquation, le principe est le même, en utilisant le fait que la fonction \(\ln\) est croissante.
Exemple : Exemple d'application concrète
La consommation d'électricité par habitant en Chine est passée de 993kWh en 2000 à 2455kWh en 2008.
On suppose que, chaque année, la consommation a été multipliée par le même nombre. (Autrement dit, la suite des consommations annuelles est une suite géométrique)
Quelle est l'augmentation annuelle moyenne en pourcentage de la consommation d'électricité en Chine ? (Autrement dit, quelle est la raison de cette suite ?)
Si \(q\) est le coefficient multiplicateur correspondant à l'augmentation de la consommation en un an, alors on peut écrire que \(2455=993\times q^8\)
Par conséquent, \(q^8=\dfrac{2455}{993}\approx 2,4723\).
\(q^8=\dfrac{2455}{993}\) donc en prenant le logarithme népérien de chaque côté, on obtient :
\(\ln~(q^8)=\ln~ \left(\dfrac{2455}{993}\right)\) donc \(8\ln q=\ln \left(\dfrac{2455}{993}\right)\).
Il en résulte que : \(\ln~q=\dfrac{\ln \left(\tfrac{2455}{993}\right)}{8}\) et donc \(q=\text{e}^{\tfrac{\ln~ \left(\tfrac{2455}{993}\right)}{8}}\) et donc \(q\approx 1,12\).
La progression annuelle est d'environ 12%.