Dérivée de \(\ln\) et de u
Fondamental :
Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\) telle que, pour tout \(x\in I\), \(u(x)>0\).
Alors la fonction \(x↦\ln(u(x))\) est dérivable sur \(I\) et sa dérivée est la fonction \((\ln(u))′\) définie sur \(I\), par \((\ln(u))′(x)=\dfrac {u\hspace{0.05cm}'(x)}{u(x)}\).
Exemple :
Par exemple, dérivons la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\ln(2x+1)\) sur son ensemble de définition :
La fonction est définie si \(2x+1>0\). Or ceci se produit sur l'intervalle \(]-\frac 1 2;+\infty[\).
Sur cet intervalle, la fonction est une composée de deux fonctions définies et dérivables, elle est donc dérivable.
On pose \(u(x)=2x+1\) et ainsi \(u\hspace{0.05cm}'(x)=2\).
La dérivée de \(f\) s'exprime donc ainsi : \(f\hspace {0.05cm}'(x)=\dfrac{2}{2x+1}\).